Museet drives af en fond, stiftet i 1996 af Post Danmark A/S og TDC A/S, med det formål at bevare og formidle Danmarks kommunikationshistorie. ENIGMA overtog det tidligere Dansk Post- og Telegrafmuseums samlinger.
ENIGMAs samlinger rummer 400 års historie om, hvordan danskerne har kommunikeret med hinanden. Sendt, modtaget og delt information. Fra håndskrevne breve til digitale netværk. Fra telegrammer og telefoner til sociale medier. Fra hjemmelavede radiomodtagere til moderne fjernsynsproduktionsudstyr. Og meget mere.
Den 3. november 1913 åbnede Dansk Postmuseum dørene for første gang. Det skete i nogle ledige loftslokaler i Centralpostbygningen, Tietgensgade. Grundstenen var en samling af posthistoriske genstande, som Jens Wilcken Mørch havde opbygget siden 1860’erne. Mørch arbejdede selv i postvæsenet og indsamlede i mange år breve, frimærker, redskaber og uniformer. I 1907 overdrog han sin samling til Postvæsenet og i 1913 blev den offentlig tilgængelig med det nye museum
Museet og samlingerne voksede i takt med samfundetsteknologiske udvikling. I 1927 blev postvæsenet fusioneret med telegrafvæsenet, og Postmuseet fik derfor tilført en omfattende samling af teletekniske genstande, indsamlet af ingeniørassistent Hans Haller. Samtidig blev museetsnavn ændret til Dansk Post- og Telegrafmuseum.
I 1996 overgik samlingen til den nyoprettede Post & Tele Museumsfond – stiftet af Post Danmark A/S og TDC. Det markerede begyndelsen på en bredere indsamling inden for kommunikation og teknologi. I 1998 åbnede museet i den gamle hovedtelegrafstation i Købmagergade under navnet Post- og Tele Museum.
I 2001 blev Post & Tele Museum fusioneret med Telefonmuseet i Hellerup, og i 2008 fulgte TDCs resterende historiske samlinger med.
Den 23. februar 2023 åbnede ENIGMA med et nyt museum beliggende i det gamle postkontor på Trianglen, Østerbro i København. Museets samling er i dag et væsentligt bidrag til den danske kulturarv. Det er samtidig det eneste museum i landet, der varetager den danske kommunikationshistorie fra Christian d. IV oprettelse af det danske postvæsen i 1624 og frem til i dag.
ENIGMA varetager også Danmarks nationale frimærkesamling. Hovedparten tilhører den danske stat, men har siden 1913 været opbevaret og formidlet gennem museet. Hertil kommer nyere filatelistiske samlinger og en lang række donationer, som gør museets samling til en af de mest omfattende iNorden.
Siden 2019 har ENIGMA også varetaget DRs tekniske samling, som er en unik samling af radio- og tv-udstyr, der går tilbage til Statsradiofoniensstart i 1925. Samlingen er opbygget i tæt samarbejde med DR Museumsforening, som fortsat står for den daglige vedligeholdelse af udstyret.
Museets bibliotek blev etableret i forbindelse med åbningen af Postmuseet i 1913 og var oprindeligt fokuseret på postvæsenets litteratur og fagbøger. Efter sammenlægningen af Post- og Telegrafvæsenet i 1927 blev biblioteket udvidet med teleteknisk litteratur.
I dag er ENIGMAs museumsbibliotek Danmarks mest omfattende fagbibliotek for post, telekommunikation og filateli.